Tables de multiplication

Sur un cercle, j’ai placé 10 points numérotés de 0 à 10.
Puis j’ai représenté la table de 2 de la façon suivante :
1 x 2 = 2 donc j’ai tracé un segment entre 1 et 2.
2 x 2 = 4 donc j’ai tracé un segment entre 2 et 4.
3 x 2 = 6 donc j’ai tracé un segment entre 3 et 6.
4 x 2 = 8 donc j’ai tracé un segment entre 4 et 8.
5 x 2 = 10 oh oh problème !
J’ai effectué la division euclidienne de 10 par 10 : 10 = 10 x 1 + 0 le reste est 0, donc j’ai tracé un segment entre 5 et ….. 0 !
6 x 2 = 12 or 12 = 10 x 1 + 2 , j’ai tracé un segment entre 6 et 2.
etc..

07032016-table 10-2-4.7

Et maintenant la table de 3 !

1 x 3 = 3 donc j’ai tracé un segment entre 1 et 3.
2 x 3 donc j’ai tracé un segment entre 2 et 6.
3 x 3 = 9 donc j’ai tracé un segment entre 3 et 6.
4 x 3 = 12 donc j’ai tracé un segment entre 4 et 2.
5 x 3 = 15 donc j’ai tracé un segment entre 5 et 5 !
Oh oh problème ! C’est un point !
6 x 3 = 18 donc j’ai tracé un segment entre 6 et 8.
etc… Mais au fait, pourquoi 0 est-il seul aussi ?

07032016-table 10-3-4.7

 

Première bizarrerie : la table de 0

Tout nombre multiplié par 0 donne 0 donc tous les points sont reliés à 0.

07032016-table 10-0-4.7

La table de 6

1 x 6 = 6 donc 1 est relié avec 6 son symétrique par rapport au centre du cercle.
2 x 6 = 12 donc 2 est relié avec 2.
3 x 6 = 18 donc 3 est relié avec 8 son symétrique par rapport au centre du cercle.
4 x 6 = 24 donc 4 est relié avec 4.
5 x 6 = 30 donc 5 est relié avec 0 son symétrique par rapport au centre du cercle.
Conjecture :
On remarque que si un nombre n est pair, il est relié avec lui-même et si n est impair il est relié avec son symétrique : n+5.
Démonstration :
Si n est pair, il existe un entier k tel que n= 2k donc n x 6 = 2k x 6 = 12k or 12 = 10 x 1 + 2 donc n x 6 = (10+2)k = 10k + 2k = 10k + n
donc n est relié avec n.
Si n est impair, il existe un entier k tel que n =2k + 1 donc 6 x n = 6(2k + 1)=12k+6= 10k + 2k + 6 = 10k + 2k + 1 + 5 = 10k +  n + 5 donc  n est relié avec n+5.
07032016-table 10-6-4.7 - copia
La table de 9
1 x 9 = 9 donc 1 est relié avec 9 son symétrique par rapport à l’horizontale.
2 x 9 = 18 donc 2 est relié avec 8 son symétrique par rapport à l’horizontale.
3 x 9 = 27 donc 3 est relié avec 7 son symétrique par rapport à l’horizontale.
Conjecture :
On remarque qu’un nombre n est relié avec son symétrique par rapport à l’horizontale.
Démonstration :
Si n un entier naturel comme 9 = 10 – 1,
on a 9 x n = (10 – 1) x n = 10n -n donc n est relié avec-n  qui est le même point que 10 – n  (modulo 10…)

07032016-table 10-9-4.7
Et maintenant,
on augmente le nombre n de points sur le cercle et on regarde ce que donnent les tables de multiplication par k.

31012016-table 200-0-5.8 31012016-table 200-2-5.8 31012016-table 200-3-5.8 31012016-table 200-34-5.8 31012016-table 200-41-5.8 31012016-table 200-51-5.8 31012016-table 200-66-5.8 31012016-table 200-81-5.8 31012016-table 200-99-5.8 31012016-table 200-199-5.8 31012016-table 400-99-5.8

Et maintenant, encore plus drôle, on remplace le cercle par un carré !!!

23022016-table carre 100-0-10-2  23022016-table carre 100-50-10-2 23022016-table carre 100-57-10-2 23022016-table carre 100-100-10-2 23022016-table carre 100-133-10-2 23022016-table carre 100-200-10-2tables carre 200-159-10 3